Definisi dan Rumus Aljabar Linear

- March 13, 2018
RUMUS MATEMATIKA Aljabar Linear

RUMUS MATEMATIKA Aljabar Linear



RUMUS MATEMATIKA Aljabar Linear


Aljabar linier , disiplin matematika yang berhubungan dengan vektor dan matriks dan, lebih umum lagi, dengan ruang vektor dan transformasi linier. Tidak seperti bagian matematika lainnya yang sering disegarkan oleh gagasan baru dan masalah yang belum terpecahkan, aljabar linier sangat dipahami dengan baik. Nilainya terletak pada banyak aplikasi, mulai dari fisika matematika sampai teori aljabar dan pengkodean modern


Vektor Dan Bentuk Ruang Vektor


Aljabar linier biasanya dimulai dengan studi vektor, yang dipahami sebagai jumlah yang memiliki besaran dan arah sama. Vektor meminjamkan diri mereka dengan mudah ke aplikasi fisik. Misalnya, perhatikan benda padat yang bebas bergerak ke segala arah. Ketika dua kekuatan bertindak pada saat bersamaan pada objek ini, mereka menghasilkan efek gabungan yang sama dengan satu kekuatan tunggal. Untuk menggambarkan ini, mewakili dua kekuatan v dan w sebagai panah; arah setiap panah memberi arah gaya, dan panjangnya memberi kekuatan besar. Kekuatan tunggal yang dihasilkan dari penggabungan v dan w disebut jumlah mereka, ditulis v + w . Pada gambar tersebut ,v + w sesuai dengan diagonal genjang yang terbentuk dari sisi yang berdekatan yang ditunjukkan oleh v dan w .



Jajaran genjang vektor untuk penambahan dan pengurangan Satu metode penambahan dan penguraian vektor adalah menempatkan ekornya secara bersamaan dan kemudian memasok dua sisi lagi untuk membentuk genjang genjang. Vektor dari ekor mereka ke sudut berlawanan dari genjang genjang sama dengan jumlah vektor aslinya. Vektor antara kepala mereka (mulai dari vektor yang dikurangkan) sama dengan perbedaannya.


Bentuk Vektor
sering diekspresikan dengan menggunakan koordinat . Sebagai contoh, dalam dua dimensi vektor dapat didefinisikan oleh sepasang koordinat ( a 1 , a 2 ) menggambarkan panah pergi dari asal (0, 0) ke titik ( a 1 , a 2 ). Jika satu vektor adalah ( a 1 , a 2 ) dan yang lainnya adalah ( b 1 , b 2 ), maka jumlahnya adalah ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ); ini memberikan hasil yang sama dengan jajar genjang (melihat para tokoh ). Dalam tiga dimensi, sebuah vektor diekspresikan dengan menggunakan tiga koordinat ( a 1 , a 2 , a 3 ), dan gagasan ini meluas ke sejumlah dimensi.



RUMUS MATEMATIKA Aljabar Linear - Koordinat Vektor
Koordinat vector additionVectors dapat ditambahkan bersama-sama dengan terlebih dahulu menempatkan ekor mereka pada asal sistem koordinat sedemikian rupa sehingga panjang dan arahnya tidak berubah. Kemudian koordinat kepala mereka ditambahkan secara berpasangan; Misalnya, dalam dua dimensi, x- coordinate dan y- coordinates mereka ditambahkan secara terpisah untuk mendapatkan jumlah vektor yang dihasilkan. Seperti ditunjukkan oleh garis putus-putus, jumlah vektor ini bertepatan dengan satu diagonal genjang yang terbentuk dengan vektor aslinya.

Mewakili vektor sebagai panah dalam dua atau tiga dimensi adalah titik awal, namun aljabar linier telah diterapkan dalam konteks dimana hal ini tidak sesuai lagi. Misalnya pada beberapa jenispersamaan diferensial jumlah dari dua solusi memberikan solusi ketiga, dan beberapa solusi konstan juga merupakan solusi. Dalam kasus seperti itu, solusi dapat diperlakukan sebagai vektor, dan rangkaian solusi adalah ruang vektor dalam pengertian berikut. Dalam ruang vektor, dua vektor dapat ditambahkan bersama-sama untuk memberi vektor lain, dan vektor dapat dikalikan dengan angka untuk memberi vektor "lebih pendek" atau "lebih lama". Angka itu disebutskalar karena pada contoh awal mereka adalah bilangan biasa yang mengubah skala, atau panjang, vektor. Misalnya, jika v adalah vektor dan 2 adalah skalar, maka 2 v adalah vektor dengan arah yang sama seperti v tapi dua kali lebih lama. Dalam banyak aplikasi modern aljabar linear, skalar tidak lagi menjadi bilangan real biasa , namun yang terpenting adalah kombinasi keduanya, antara lain dengan penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Misalnya, skalar mungkin bilangan kompleks, atau mereka mungkin merupakan elemen dari bidang yang terbatas seperti bidang yang hanya memiliki dua elemen 0 dan 1, di mana 1 + 1 = 0. Koordinat vektor adalah skalar, dan bila skalar ini berasal dari dua elemen, setiap koordinat adalah 0 atau 1, sehingga setiap vektor dapat dilihat sebagai urutan tertentu dari 0s dan 1s. Ini sangat berguna dalam pemrosesan digital, dimana urutan tersebut digunakan untuk mengkodekan dan mentransmisikan data.



Transformasi Linier Dan Matriks


Ruang vektor adalah salah satu dari dua bahan utama aljabar linear, yang lainnya adalah transformasi linier (atau "operator" dalam bahasa fisikawan). Transformasi linier adalah fungsi yang mengirim, atau "memetakan," satu vektor ke vektor lain. Contoh sederhana dari transformasi linear mengirimkan setiap vektor ke c times itu sendiri, di mana c adalah beberapa konstanta. Jadi, setiap vektor tetap berada pada arah yang sama, namun semua panjangnya dikalikan dengan c . Contoh lainnya adalah arotasi , yang meninggalkan semua panjang yang sama tapi mengubah arah vektor. Linear mengacu pada fakta bahwa transformasi mempertahankan penambahan vektor dan perkalian skalar. Ini berarti bahwa jika T adalah transformasi linear yang mengirimkan vektor v ke T ( v ), maka untuk setiap vektor v dan w , dan setiap skalar c , transformasi harus memenuhi sifat T ( v + w ) = T ( v ) + T ( w ) dan T ( c v) = c T ( v ).



Saat melakukan perhitungan, transformasi linier diperlakukan sebagai matriks . Sebuah matriks adalah pengaturan persegi panjang skalar, dan dua matriks dapat ditambahkan atau dikalikan seperti yang ditunjukkan pada tabel . Produk dari dua matriks menunjukkan hasil melakukan satu transformasi diikuti oleh yang lain (dari kanan ke kiri), dan jika transformasi dilakukan secara terbalik, hasilnya biasanya berbeda. Dengan demikian, produk dari dua matriks bergantung pada urutan perkalian; Jika S dan T adalah matriks bujursangkar (matriks dengan jumlah baris yang sama dengan kolom) dengan ukuran yang sama, maka ST dan TS jarang sama. Matriks untuk transformasi tertentu ditemukan dengan menggunakan koordinat. Misalnya, dalam dua dimensi transformasi linear T.


dapat sepenuhnya ditentukan hanya dengan mengetahui pengaruhnya pada dua vektor v dan w yang memiliki arah yang berbeda. Transformasi mereka T ( v ) dan T ( w ) diberikan oleh dua koordinat; Oleh karena itu, hanya empat koordinat, dua untuk T ( v ) dan dua untuk T ( w ), yang diperlukan untuk menentukan T . Keempat koordinat ini disusun dalam matriks 2-demi-2. Dalam tiga dimensi tiga vektor u , v , dan w diperlukan, dan untuk menentukan T ( u ), Tv ), dan T ( w ) satu kebutuhan tiga koordinat untuk masing-masing. Hal ini menghasilkan matriks 3-by-3.


Vektor Eigen


Ketika mempelajari transformasi linear, sangat berguna untuk menemukan vektor taknol yang arahnya tidak berubah oleh transformasi. Ini disebut vektor eigen (juga dikenal sebagai vektor karakteristik). Jika v adalah vektor eigen untuk transformasi linear T , maka T ( v ) = λ v untuk beberapa skalar λ. Skalar ini disebut nilai eigen. Nilai eigen dari nilai mutlak terbesar, bersama dengan vektor eigen yang terkait, memiliki arti penting bagi banyak aplikasi fisik. Hal ini karena proses apa pun yang ditunjukkan oleh transformasi linier sering kali berulang kali menghasilkan output dari transformasi terakhir ke transformasi lain - yang menghasilkan setiap vektor acak (nol besar) yang terkonvergensi pada vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen terbesar, walaupun dikalikan dengan kekuatan dari nilai eigen Dengan kata lain, perilaku jangka panjang sistem ditentukan oleh vektor eigennya.

Menemukan vektor eigen dan nilai eigen untuk transformasi linier sering dilakukan dengan menggunakan aljabar matriks, yang pertama kali dikembangkan pada pertengahan abad ke-19 oleh matematikawan Inggris. Arthur Cayley . Karyanya membentuk fondasi untuk aljabar linear modern.

Sekian Definisi dan Rumus Aljabar Linear, jika ada yang ingin ditanyakan bisa berkomentar dengan tombol "Load Comment" yang ada diakhir artikel.

Terimakasih.
Advertisement
 

Start typing and press Enter to search